Question

【题目】已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数，使得.

（1）判断函数（为常数）是否属于集合；

（2）若属于集合，求实数的取值范围；

（3）若，求证：对任意实数，都有属于集合.

Answer 1

【答案】（1）属于；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）利用时，方程，此方程恒成立，说明函数（为常数）属于集合；

（2）由属于集合，推出有实数解，即方程有实数解，分和两种情况，得到结果；

（3）当时，方程有解，令，则在上的图象是连续的，当时，当时，判定函数是否有零点，证明对任意实数，都有属于集合.

（1）当时，方程，

此方程恒成立，

所以函数（为常数）属于集合；

（2）由属于集合，

可得方程有实数解，

即，整理得方程有实数解，

当时，方程有实根，

当时，有，

解得或，

综上，实数的取值范围为；

（3）当时，方程有解，

等价于有解，

整理得有解，

令，则在上的图象是连续的，

当时，，

故在上有一个零点，

当时，，

故在上至少有一个零点，

故对任意的实数，在上都有零点，即方程总有解，

所以对任意实数，都有属于集合.