Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦点为F点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l不经过Q点且与抛物线交于A，B两点，QA，QB的斜率分别为K1，K2，若K1K2＝﹣2，求证：直线AB过定点，并求出此定点．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析，定点（6，﹣4）

【解析】

（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设的坐标，由题意可得的值，进而求出抛物线的方程；

（2）设直线的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线，的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线恒过的定点，注意直线不过，所以求出符合题意的定点的坐标．

解：（1）由题意，，直线方程为，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，

由题意可得，解得或8，由题意可得，

所以抛物线的方程为：；

（2）由题意设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与抛物线的方程可得，整理可得，

则，①

由（1）可得可得，

即，

即，

整理可得，

将①代入可得：，即，

所以，或，

即，或，

所以直线的方程为：，即恒过，

或者即恒过，

而由题意可得直线不过，

可证得直线 恒过定点．