Question

【题目】已知项数为的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.

（I）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；

（II）若为的“伴随数列”，证明：；

（III）已知数列存在“伴随数列”且求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）详见解析；（III）.

【解析】

（I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.

（II）利用差比较法判断出的单调性，由此证得结论成立.

（III）利用累加法、放缩法求得关于的不等式，由此求得的最大值.

（I）不存在.理由如下：因为，所以数列不存在“伴随数列”.

（II）因为，

又因为，所以，所以，即，所以成立.

（III），都有，因为，，

所以，所以.

因为，

所以.

而，即，

所以，故.

由于，经验证可知.所以的最大值为.