Question

16．已知两定点M（-1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的有（　　）
①y=x+1；②y=2；③y=-x+3；④y=-2x+3．

• A． ②④
• B． ①④
• C． ①③
• D． ③④

Answer 1

分析 易得P在以M、N为焦点的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，“A型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由△组验证可得．

解答 解：∵两定点M（-1，0），N（1，0），|PM|+|PN|=4，
∴P在以M、N为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，b²=3，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
满足题意的“A型直线”和椭圆有公共点，
联立y=x+1和$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1消y并整理可得7x²-8x-8=0，
故△＞0，即直线与椭圆有公共点，即为“A型直线”；
同理可验证④y=-2x+3为“A型直线”
故选：B．

点评 本题考查距离公式，涉及椭圆的定义以及直线和椭圆的位置关系，属中档题．