Question

【题目】已知椭圆：，直线交椭圆于，两点.

（1）若点满足（为坐标原点），求弦的长；

（2）若直线的斜率不为0且过点，为点关于轴的对称点，点满足，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）设出,两点的坐标,结合关系式,即可得线段的中点坐标.利用点差法可求得直线的斜率,根据点斜式求得直线的方程.再结合弦长公式即可求得弦的长;

（2）设出直线的方程,根据M的坐标及可知.由两点的斜率公式,可得,将,两点的坐标代入直线方程后,整理代入的表达式,联立圆的方程,即可得关于的方程.进而用韦达定理求得n的值即可.

（1）设,

由,且点,得,.①

∴线段的中点坐标为,其在椭圆内

由两式相减得,

整理得,即.

将①代入,得.

∴直线方程为,即.

联立消去得,

由韦达定理得,.

∴.

（2）设直线的方程为,由题意得,

由已知,可知,,三点共线,即.

∴,即,

解得.

将,,代入得.②

联立消去得

由韦达定理得,.③

将③代入②得到