Question

【题目】已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

由＝2可得点A，B的坐标之间的关系，再用点A，B的坐标表示直线的方程，进而可求直线AB与x轴的交点坐标。将△ABO分割成△ACO与△CBO两个小三角形，进而用A，B的坐标表示△ABO与△AFO面积的和，再结合点A，B的坐标之间的关系化简，进而利用基本不等式即可求解。

如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.

∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).

S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，当且仅当，即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.