Question

【题目】根据平面向量基本定理，若为一组基底，同一平面的向量可以被唯一确定地表示为 = ，则向量与有序实数对一一对应，称为向量的基底下的坐标；特别地，若分别为轴正方向的单位向量，则称为向量的直角坐标.

（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若，则；

（II）如图，直角中， ， 点在上，且，求向量在基底下的坐标.

Answer 1

【答案】（I）见解析.（II）.

【解析】试题分析：（ I）利用平面向量的坐标运算即可证明结论成立；

（ II）根据几何性质得出，用、表示即可；根据几何性质得出，再用、表示即可.

试题解析：

（I）证明：根据题意：

∴，（4分）∴.

（II）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知，

从而，所以，

化简得： ，所以在基底下的坐标为.

法二（向量法）：同上可得： ，所以.

上法也可直接从开始∴.

法三（向量法）：设，则利用共线可解得.

法四（坐标法）：以为坐标原点， 方向为轴正方向建立直角坐标系（以下坐标法建系同），则，由几何意义易得的直角坐标为.

设，则= ，又知，则由三点共线易得.

法六（坐标法）：完全参照《必修4》P99例8（2）的模型和其解答过程，此处略.

法七（几何图形法）：将分解在方向，利用平几知识算出边的关系亦可.

法八（向量法）：设，则①；

由 ②，由①，②解得.

所以在基底下的坐标为.