Question

【题目】已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点 ．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知， ，则p=2，

∴抛物线方程为y2=4x

（2）解：设椭圆方程为 ，

则 ，解得a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为 ．

若l垂直于x轴，得M（1，﹣ ），N（1， ）， ，不符合；

若l不垂直于x轴，

设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）

令l：y=k（x﹣1）（k≠0），代入 ，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．

∴ ，

y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，

则线段MN的中垂线方程为 ，

∴P（0， ）．

由 ，得x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0．

即 （y0≠0），∴ ，

又 ，∴ ，解得k= ．

∴直线l的方程为 ．

【解析】（1）由已知求得p，则抛物线方程可求；（2）设出椭圆方程，由已知列关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，得到椭圆方程，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），设出直线方程y=k（x﹣1）（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合 求得k值．