Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的垂直平分线交轴于点，若．

（1）求点的坐标；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据已知条件及中点坐标公式求出的中点的横坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消去，用根与系数的关系及中点坐标公式求线段的中点的纵坐标，写出线段的垂直平分线方程，即可得点的坐标；

（2）的中点在直线上，结合判别式可得的取值范围，表示出（关于的函数），最后构造新函数，用导数法求最值．

（1）易知，，

设的中点为，

则，

所以，即．

设直线的方程是，

与抛物线方程联立，得，消去得，，，

所以，故，所以的中点的坐标为，

的垂直平分线方程是，令，得，故．

（2）因为的中点在直线上，

所以，又，

所以．

所以．

令，，则，

设，，则，

易得，在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以．