Question

【题目】已知函数，其中；

（l）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；

（2）讨论在上函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1) ，设，，因此单调递减,,讨论正负即可判断出极值情况;

(2)由(1)可知若时,恒为增函数,计算可知,此时无零点, 若时, ,可求得,讨论与的关系,及若，,函数在区间的单调性及函数值在区间端点的符号,即可得出结论.

（1），设，

，因此单调递减，

，

又时，，

若，即时，

，使；

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

在处取极大值，不存在极小值.

若，即，，

在单调递增，此时无极值.

（2）由第一问结论可知：

（i）若时，由上问可知：

，

即时函数没有零点.

（ii）若时，时单调递增；

时，单调递减.

由，得，

从而，再设，

则，从而a关于单调递增.

①若，此时，

若得或，

所以时无零点；

若得，

所以时有一个零点；

当，，有一个零点.

因此时无零点；

时有一个零点；

②此时，

，，

，

设，

则，

所以，

若即，即时无零点；

若即，即时有一个零点.

综上所述：时无零点；

时有一个零点.