Question

定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x-2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由题意可得函数是周期等于2的函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²．再由函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，可得函数
f（x）的图象和直线y=kx+k=k（x+1）有4个交点，数形结合可得则实数k的取值范围．

解答：解：由函数满足对任意实数x都有f（x-2）=f（x），可得函数是周期等于2的函数．
再根据f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²．
函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，可得函数f（x）的图象和直线y=kx+k=k（x+1）有4个交点，如图所示：
则由题意可得，A（-1，0）、D（3，1），且 0＜k≤k_AD=

1

4

，
则实数k的取值范围是（0，

1

4

）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．