Question

空间四边形ABCD中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，则在下面的命题中：
（1）P、Q、R、S四点共面；
（2）PR与QS不相交；
（3）当AC=BD时，四边形PQRS是菱形；
（4）当AC⊥BD时，四边形PQRS是矩形．
正确命题的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由已知中空间四边形ABCD中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，根据三角形中位线定理，及平行四边形的判定定理，我们易判断出四边形PQRS为平行四边形，进而再由平行四边形的性质及矩形和菱形的判定定理，逐一分析四个结论，即可得到答案．

解答：解：∵空间四边形ABCD中，线段AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、R、S，
∴PQ∥AC，RS∥AC，且PQ=RS=

1

2

AC，PS∥BD，QR∥BD，PS=QR=

1

2

BD
故（1）P、Q、R、S四点共面，正确；
（2）PR与QS为平行四边形的两条对角线，故相交，（2）不正确；
（3）当AC=BD时，PQ=RS=PS=QR，四边形PQRS是菱形，正确；
（4）当AC⊥BD时，PQ⊥PS，四边形PQRS是矩形，正确．
故选C

点评：本题考查的知识点是平面的基本性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，其中根据平行四边形的判定定理，得到四边形PQRS为平行四边形，是解答本题的关键．