Question

【题目】已知函数，.其中，

（1）若.求证：.

（2）若不等式对恒成立，试求的取值范围

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求导得到，存在，使，，故，代入，计算得到证明.

（2）将代入不等式，得到，根据函数的单调性得到；再设，求导得到单调性，计算得到答案.

（1）由，得，，所以有，

所以在上单调递增，且，，

所以存在，使，

所以当时，，当时，，

所以，（*）

且，即，两边取对数，得，

代入（*），有，得证.

（2）由题意得对成立，

（ⅰ）必要性，将代入上述不等式，得，

即，

令，

易知在上单调递增，且，所以.

（ⅱ）下证当时，对成立.

即证，

因为，所以，

设，则，

显然在上单调递减，且，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，不等式得证.

由（ⅰ）和（ⅱ）可知.