Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于，两点．

（1）当直线的斜率时，求的面积；

（2）当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先根据椭圆的几何性质求出，的坐标，进而可求出直线的方程，然后联立方程，结合根与系数的关系即可求得的面积；

（2）先由题意得到直线的斜率不存在时不满足题意，再设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据条件求出的取值范围，最后利用换元法求出的取值范围即可．

（1）由椭圆，可得左、右焦点分别为，，

因为直线的斜率，所以直线的方程为，即，

联立方程，得，消去，化简、整理得，

设，，则，，

所以，即的面积为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以不妨设，，

可得，不满足，

所以直线的斜率存在，设直线，

联立方程，得，消去得，

．

设，，则，，

所以

．

又由，解得．

可得，

令，则，可得，

因为，所以，

即的取值范围是．