Question

【题目】已知F1、F2是椭圆 + =1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1， ）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足 + = ；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当 =λ且满足 ≤λ≤ 时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ + = ，∴点M是线段PF2的中点，

∴OM是△PF1F2的中位线，

又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2

∴ ，解得a2=2，b2=1，c2=1，

∴椭圆的标准方程为 =1．

（2）解：∵圆O与直线l相切，∴ ，即m2=k2+1，

由 ，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直线l与椭圆交于两个不同点，

∴△＞0，∴k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=﹣ ， ，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=

= ，

=x1x2+y1y2= =λ，

∴ ，∴ ，解得： ，

S=S△AOB=

=

= ，

设μ=k4+k2，则 ，

S= ， ，

∵S关于μ在[ ]上单调递增，

S（ ）= ，S（2）= ．

∴ ．

【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出 ，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此能求出△AOB面积S的取值范围．