Question

【题目】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=3[f（x﹣ ）]2+mf（x﹣ ）+2在区间[0， ]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，

A=1， = ﹣ = ，

∴T=π，

∴ω= =2；

由“五点法画图”知，

2× +φ= ，解得φ= ；

∴函数f（x）=sin（2x+ ）；

（Ⅱ）∵f（x﹣ ）=sin（2x﹣ + ）=sin2x，

∴函数F（x）=3[f（x﹣ ）]2+mf（x﹣ ）+2

=3sin2（2x）+msin2x+2；

在区间[0， ]上有四个不同零点，

设t=sin2x，由x∈[0， ]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，

∴t∈[0，1]，

令F（x）=0，则3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，

令g（t）=3t2+mt+2

则由 ，解得﹣5＜m＜﹣2 ；

∴实数m的取值范围是﹣5＜m＜﹣2

【解析】（Ⅰ）根据f（x）的部分图象求出A、ω以及φ的值即可；（Ⅱ）求出f（x﹣ ）=sin2x，化简函数F（x），

根据题意设t=sin2x，则由x∈[0， ]时t∈[0，1]，

把F（x）=0化为3t2+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，

由此求出实数m的取值范围．