Question

1．P为双曲线2x²-y²=2右支上一点，F₁，F₂分别为左右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=2S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+（1+$\frac{1}{λ}$）S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，则实数λ的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，由S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，根据双曲线的定义2a=$\frac{1}{λ}$×2c，即可求得λ的值．

解答 解：由双曲线2x²-y²=2的标准方程：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$，依题意，设△PF₁F₂的内切圆的半径为r，
则${S}_{△I{PF}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•r，
S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
由${S}_{△I{PF}_{1}}$+S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$=2S${\;}_{△IP{F}_{2}}$+（1+$\frac{1}{λ}$）S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，则${S}_{△I{PF}_{1}}$-S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{λ}$S${\;}_{△I{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{λ}$|F₁F₂|，
∵P为双曲线右支上一点，
∴2a=$\frac{1}{λ}$×2c，则1=$\frac{\sqrt{3}}{λ}$，则λ=$\sqrt{3}$，
∴实数λ的值$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题．