Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2， ．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AD中点O，连结PO、CO，

∵PA=PD= ，AB=2，∴△PAD为等腰直角三角形，

∴PO=1，PO⊥AD，

∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，

∴ ，又PC=2，

∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，

又AB∩CO=O，AB平面ABCD，CO平面ABCD，

∴PO⊥平面ACD，又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD

（2）解：建立以O为坐标原点，OC，OD，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

则A（0，﹣1，0），C（ ，0，0），P（0，0，1），B（ ，﹣2，0），

设平面APC的法向量 =（x，y，z），

由 ，令z= ，则x=1，y=﹣ ．即 =（1，﹣ ， ）

设平面PCB的法向量 =（x，y，z），

由 ，

令z= ，则x=1，y=0，即 =（1，0， ）

cos＜ ， ＞= = ，

∵二面角A﹣PC﹣B的是锐二面角，

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值是 ．

【解析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．