Question

【题目】已成椭圆 的离心率为 ．其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是 中点，且 点的坐标为 ，当 时，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

由题意可知： ，又 ，

∴ ，所以椭圆 的方程为 ；

（2）

①若直线 的斜率不存在，此时 为原点，满足 ，所以，方程为 ，

②若直线 的斜率存在，设其方程为 ，

将直线方程与椭圆方程联立可得

，即 ，

可得 ，

设 ，则 ，

由 可知 ，

化简得 ，

解得 或 ，将结果代入 验证，舍掉 ，

此时，直线 的方程为 ，

综上所述，直线 的方程为 或 .

【解析】（1）易知焦点在x轴上，原点到右顶点的距离为a，原点到上顶点的距离为b，依据题意有a+b=5，然后根据离心率即可求出a、b的值；（2）分两种情况进行讨论：①斜率不存在时；②斜率存在时，设出直线方程，表示出M的坐标，通过QM⊥AB，求出直线的斜率，进而求出直线方程。
【考点精析】关于本题考查的椭圆的概念和椭圆的标准方程，需要了解平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．