Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点． （Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为 ，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∵E是BC中点，∴AE⊥BC，
又AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，∴PA⊥AE，
又PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD，
又AE平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，
在Rt△AME中，tan ，即 = ，
设AB=2a，则AE= ，得AM= ，
又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），
∴AM= = ，
从而b=a，∴PA=AD=2a，
则A（0，0，0），B（ ，﹣a，0），C（ ），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（ ），F（ ， ，a），
∴ =（ ）， =（ ， ，a）， =（﹣ ），
设 =（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，
则 ，取z=a，得 =（0，﹣2a，a），
又BD⊥平面ACF，∴ =（﹣ ）是平面ACF的一个法向量，
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ．
则cosθ= = = ．
∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PCD． （Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．