Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面，，，， ， ，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）根据直角三角形和等比三角形的性质，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（2）由（1）以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）在中，因为，，，

所以，，

在中，因为，，，

由余弦定理得，

所以，所以，则是直角三角形，

又因为为的中点，所以，

又因为，所以是等边三角形，

所以，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）可知，以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设为平面的一个法向量，

则即设，则，，所以，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.