Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】(1) ;.(2) 或.

【解析】

（1）曲线参数方程消去参数，得到曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可得出曲线的直角坐标方程；

（2）设两点所对应参数分别为，直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理和直线参数方程中参数的几何意义，得，根据，得，分类讨论，即可求解.

（1）曲线参数方程为为参数，消去参数，得，

∴曲线的普通方程，

又由曲线的极坐标方程为，∴，

根据极坐标与直角坐标的互化公式，代入得，

整理得，即曲线的直角坐标方程.

（2）设两点所对应参数分别为，，

将代入，得，

要使与有两个不同的交点，则，即，

由韦达定理有，根据参数的几何意义可知，，

又由，可得，即或，

∴当时，有，符合题意.

当时，有，符合题意.

综上所述，实数的值为或.