Question

【题目】已知点、是双曲线：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为3.

（1）求双曲线的方程；

（2）过的直线与相交于、两点，直线的法向量为，且，求的值；

（3）在（2）的条件下，若双曲线在第四象限的部分存在一点满足，求的值及的面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），

【解析】

（1）由渐近线为，可知，由右顶点到左焦点的距离为3，可知，再根据，求解，，即可.

（2）由题意可知，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，得，根据韦达定理，确定，，再由，得，求解的值，即可.

（3）有（2）可知，从而确定，设，由得，代入双曲线的方程，解得值以及点坐标，利用点到直线距离公式，求解点到直线的距离.再求解的面积即可.

解：（1）由题意得解得，，

所以双曲线的方程为：.

（2）直线的方程为，由，得（*）

所以

由得

即

代入化简，并解得（舍去负值）

（3）把代入（*）并化简得，

此时，

所以

设，由得代入双曲线的方程解得

（舍），，所以，

点到直线的距离为，

所以.