Question

【题目】已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点M是直线y＝x与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|＝5．

（1）求抛物E的方程．

（2）直线l与抛物线E相交于两点A，B，过点A，B分别作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，原点O到直线l的距离为1．求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y（2）

【解析】

（1）抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离；

（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设直线方程，代入抛物线中，由根与系数的关系得到纵坐标的关系，原点到直线的距离得出斜率和截距的关系，求出距离，用纵坐标表示，再由二次函数求出最大值．

解：（1）设，，联立方程组：解得：，

抛物线中，准线方程：，到焦点距离等于到准线的距离，，

，

解得：，

所以抛物线方程为：；

（2）由题意可得直线的斜率一定存在，

设的方程为：，，

原点到直线的距离为1得：，

，，，，

联立方程组：得：，

，

即且，，

，，

而，

当时最大且为：，

即的最大值为：．