Question

【题目】已知函数（，为常数）.

（1）当时，若方程有实根，求的最小值；

（2）设，若在区间上是单调函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 最小值为0. (2)

【解析】

（1）当时，利用导数求得的最小值为，所以，故的最小值为.

（2）首先求得的解析式，利用二次求导的方法，结合在区间上是单调函数，将分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（1）当时，，

.

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

∴.

由，得，

又，∴.即的最小值为0.

（2）∵，∴.

设，则，

可知在上为减函数.

从而.

①当，即时，，在区间上为增函数，

∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立.

∴在区间上是减函数，故满足题意；

②当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上单调递增，在上单调递减.

又∵，∴，∴在上单调递增，

∵，∴在上递减，

这与在区间上是单调函数矛盾.

∴不合题意.

综合①②得：.