Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣mx+m，m、x∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，求m的取值范围；
（2）若实x1 ， x2数满足x1＜x2 ， 且f（x1）≠f（x2），证明：方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一个实根x0∈（x1 ， x2）；
（3）设F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2 ， 且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）＞0的解集为R，

∴判别式△=m2﹣4m＜0，得0＜m＜4．

（2）解：证明：令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，

易知g（x）在其定义域内连续，

且g（x1）g（x2）={f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]}{f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]}

=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，

则g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1，x2）上有零点，

即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一个实根x0∈（x1，x2）；

（3）解：F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2，

△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，函数的对称轴为x= ，

①当△=0时，5m2﹣4=0，即m=± ，

若m= ，则对称轴为x= ∈[0，1]，则在[0，1]上不单调递增，不满足条件．

若m=﹣ ，则对称轴为x=﹣ ＜0，则在[0，1]上单调递增，满足条件．

②当△＜0时，﹣ ＜m＜ ，此时f（x）＞0恒成立，若|F（x）|在[0，1]上单调递增，

则x= ≤0，即m≤0，此时，﹣ ＜m≤0．

③当△＞0，m＜﹣ 或m＞ ，对称轴为x= ．

当m＜﹣ 时，对称轴为x=﹣ ＜0，要使|F（x）|在[0，1]上单调递增，

则只需要F（0）≥0即可，此时F（0）=1﹣m2≥0，得﹣1≤m1，

此时﹣1≤m＜﹣ ．

若m＞ ，对称轴为x＞ ，则要使|F（x）|在[0，1]上单调递增，

此时F（0）=1﹣m2＞0，只需要对称轴 ≥1，所以m≥2．

此时m≥2，

综上﹣1≤m≤0或m≥2．

【解析】（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为R，转化为别式△=m2﹣4m＜0进行求解决即可．（2）令g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，从而利用函数零点的判定定理可得g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]在（x1 ， x2）上有零点，从而证明方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]至少有一个实根x0∈（x1 ， x2）；（3）化简F（x）=f（x）+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2 ， 从而转化|F（x）|在[0，1]上单调递增，分判别式大于或等于0以及判别式小于0两种情况讨论，然后结合二次函数的性质进行求解即可．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．