Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5；
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，若，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的离心率为，得=，由椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5，得a+c=5，再由a，b，c的关系式，就可解出a，b的值，得到椭圆方程．
（2）设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，解得x₁+x₂，x₁x₂，利用弦长公式求出|AB|长．因为M在直线l：x=t（t＞2）上的射影为N，可求出|MN|的长，由M为线段AB的中点，可得|AB|=2|MN|，把前面求出的|AB|长与|MN|的长代入，就可得到关于k，t的等式，用k表示t，再根据k的范围求出t的范围即可．
解答：解：（1）依题意，得，解得，a=3，c=2，由b2=a2-c2，得b=，
∴椭圆方程为
（2）设直线AB方程为y=k（x-2），代入椭圆中，得
（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0
∵直线与椭圆交于A、B两点，
有△（36k²）²-4（9k²+5）（36k²-45）=25×36（k²+1）＞0
|AB|==
又由|MN|=t-=t-，又∵Rt△ABN中，M为斜边AB的中点，
∴|AB|=2|MN|，即=2t-
解得，t==
∵k²≥0，∴，
，

∴t的取值范围为[3，）
点评：本题主要考察了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆相交时弦长公式的应用，分离变量求参数的取值范围，属于圆锥曲线的综合题．