Question

【题目】设函数在上有定义，实数和满足.若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质P.

（1）当，且在区间上具有性质P，求常数C的取值范围；

（2）已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质P；

（3）若对于满足的任意实数和，在区间上具有性质P，且对于任意，当时，有：，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性质；（3）证明见解析．

【解析】

（1）由对称轴可得；

（2）求出在上的函数解析式，判断出函数在上后一个区间上的函数值都比前一个区间上的函数值大，从而函数最小值（如果有）只能在第一个区间上取得，但在上函数无最小值，因此可得出结论；

（3）由绝对值的性质知，即夹在和之间，如果，则在上有最小值，不具有性质，与已知矛盾，从而只能是，然后只要说明对任意的，一定有，，则必有，而，因此结论显然成立．

（1），对称轴，当时，是最小值，当时，是最小值，只有当，即时，在是递增，无最小值；

（2）时，，，同理时，，，

即，易知当时，是最大值，而对任意的，，，都有恒成立，

∴时，若有最小值，则只有在时取得，但当时，是减函数，无最小值，∴在上无最小值，具有性质；

（3）对于任意，当时，

有：,

∴，

若成立，则在上有最小值，不具有性质，不合题意，所以只有．

显然有，

则对任意的，则一定存在，使得则，，

∴，即．