Question

【题目】设

（1）证明:当时，；

（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.

（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.

（1）证明：当时代入可得，

令，，

则，

令解得，

当时，所以在单调递增，

当时，所以在单调递减，

所以，

则，即成立.

（2）函数

则，

若时，当时，，则在时单调递减，所以，即当时成立；

所以此时需满足的整数解即可，

将不等式化简可得，

令

则

令解得，

当时，即在内单调递减，

当时，即在内单调递增，

所以当时取得最小值，

则，

，

，

所以此时满足的整数 的最大值为；

当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.

因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，

综上所述，当时，整数的最大值为.