Question

【题目】如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论；

（2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

（1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为.

所以在中，，则，又，所以，由，

所以为等边三角形，

又是的中点，所以，又平面，

则有平面，

而平面，故平面平面.

（2）解法一：在中，，取中点，所以，

由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

以为坐标原点，方向为轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设平面的法向量，由得取，则

设直线与平面所成角大小为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，

所以平面，

过作于，连，则由平面平面，所以，又，则平面，又平面所以，在中，，所以，设到平面的距离为，由，即，即，

可得，

设直线与平面所成角大小为，则.

故直线与平面所成角的正弦值为.