Question

【题目】已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用导数的性质判断f（x）的单调性和极值，得出方程f（x）=t的根的分布情况，从而得出关于t的方程t2﹣kt+1=0的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出k的范围．

f′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，

令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，

∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=，

当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0．

作出f（x）的大致函数图象如图所示：

令f（x）=t，则当t=0或t＞时，关于x的方程f（x）=t只有1解；

当t=时，关于x的方程f（x）=t有2解；

当0＜t＜时，关于x的方程f（x）=t有3解．

∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，

∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，

显然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，

∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，

∴，解得k＞．

故选：B．