Question

【题目】设Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，且 ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，Sn﹣1= an﹣1（an﹣1+3），

∴an= [ +3an﹣（ +3an﹣1）]，

整理得： ﹣ =3（an+an﹣1），

又∵an＞0，

∴an﹣an﹣1=3，

又∵a1= a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），

∴数列{an}是首项、公差均为3的等差数列，

∴其通项公式an=3n

（2）证明：由（1）可知 = = （ ﹣ ），

∴Tn=b1+b2+…+bn

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）

＜

【解析】（1）通过 与Sn﹣1= an﹣1（an﹣1+3）作差，进而可知数列{an}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知bn= （ ﹣ ），进而并项相加即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．