Question

【题目】已知椭圆C： (＞b＞0)的离心率为，A(,0)， B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析.

【解析】试题分析：

运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合的关系，解方程可得,进而得到椭圆方程。

设椭圆上点可得,求出直线的方程，令求得,求出直线的方程，令求得，化简整理，即可得到的定值

(1)解　由已知＝，ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．

设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.

当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，

令x＝0得yM＝.

从而|BM|＝|1－yM|＝.

直线PB方程为y＝x＋1.

令y＝0得xN＝.

∴|AN|＝|2－xN|＝.

∴|AN|·|BM|＝·

＝·

＝

＝＝4.

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

∴|AN|·|BM|＝4.

故|AN|·|BM|为定值．