Question

【题目】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是的中点.

（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；

【解析】

(1)直线平面PAC. 连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EFAC，再利用线面平行的判定定理即可得到平面ABC，再由线面平行的性质定理可得EF，再利用线面平行的判定定理即可证明直线平面PAC；

(2)以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和直线的方向向量可得出线面角，两个直线的方向向量可得出线线角，两个平面的法向量的夹角即可得出二面角，从面即可证明结论.

(1)直线平面，证明如下：

连接EF，因为分别是的中点，所以EFAC，

又平面，且平面，

所以平面，

而平面，且平面平面，

所以EF，

又因为平面，平面，

所以直线平面

(2) 由题意得：，作，且，

连接，由(1)可知交线即为直线，

以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系( 如图)：

设，则有

所以：，

又取平面的一个法向量为，

，

设平面的法向量为，

所以由可得，令，

则，

，

，

故，

即