Question

【题目】已知数列满足，当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据原等式递推，得到和之间的关系，然后得到数列是等差数列，最后根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式，也可将已知等式转化为和之间的关系式，得到数列是等差数列，并求出，再根据和之间的关系求出数列的通项公式；（2）先由（1）得到数列的通项公式，并将其转化为可以裂项的形式，再利用裂项相消法求得，最后根据数列的增减性即可证明.

解：（1）因为当时，，①

所以，②

②-①得，，即，即，

又，所以，

所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，所以.

故数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以，

所以

.

又数列是递减数列，所以，

所以，

故.