Question

【题目】设对于任意实数x，不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立． （I） 求m 的取值范围；
（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9．

Answer 1

【答案】解：（I）∵|x+6|+|x﹣1|≥|x+6﹣x+1|=7， 又对于任意实数x，不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立，
∴m≤7，
∴m 的取值范围是（﹣∞，7]．
（Ⅱ）当m取最大值时，m=7，
原不等式等价于：|x﹣4|﹣3x≤5，
∴ 或 ，
解得x≥4或﹣ ≤x＜4，
∴原不等式的解集为{x|x≥﹣ }
【解析】（1）由|x+6|+|x﹣1|≥|x+6﹣x+1|=7，能求出m 的取值范围．（2）当m取最大值时，m=7，原不等式等价于：|x﹣4|﹣3x≤5，由此能求出原不等式的解集．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．