Question

【题目】在△ABC中，已知C= ，向量 =（sinA，1）， =（1，cosB），且 ．
（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且3 = ， = ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（sinA，1）， =（1，cosB），且 ⊥ ，

∴sinA+cosB=0，

又C= ，A+B+C=π，

∴sinA+cos（ ﹣A）=0，即sinA﹣ cosA+ sinA=sin（A﹣ ）=0，

又0＜A＜ ，∴A﹣ ∈（﹣ ， ），

∴A﹣ =0，即A=

（2）解：设| |=x，由3 = ，得| |=3x，

由（1）知A=C= ，

∴| |=3x，B= ，

在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，

解得：x=1，

∴AB=BC=3，

则S△ABC= BABCsinB= ×3×3×sin =

【解析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数（2）设| |=x，由3 = ，得| |=3x，由A的度数与C度数相等，可得出| |=3x，B= ，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．