Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，一条准线方程是，点为椭圆上异于的两点，点为的中点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交直线于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；

（3）若，求直线斜率的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）。

【解析】

（1）由椭圆的准线方程和右焦点可得a，c，再解出b即可；（2）由A（﹣2，0），B（2，0），设P，直线PB的方程为，代入椭圆方程求得P的坐标，从而得M点坐标，再运用直线的斜率公式求出，，化简计算可得定值；（3）由＝0，可得AP⊥AQ，即kAQkAQ＝﹣1，设AP：，代入椭圆方程3x2+4y2＝12，解方程求得P的坐标，将k换为﹣可得Q的坐标，再由中点坐标公式可得R的坐标，再由直线的斜率公式，结合换元法和基本不等式即可得到所求范围．

（1）设椭圆焦距为，∵右焦点为，∴，

∵一条准线方程是，∴，∴.

∴椭圆的标准方程为；

（2）设，则∵，∴，

又，∴直线，∴ ，

又，∴，

∴。

（3）设直线，代入，

消去整理得 ，

由，得，，

∵，∴直线，

同理可得 ，

∵点为的中点，∴， 又，

∴，

设，则，∴，

当时，，

当时，，

∵或，∴或，

综上可知直线斜率的取值范围是。