Question

【题目】如图，已知多面体中，平面，，三角形是等边三角形，且，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，证得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；

（Ⅱ）（解法一在）平面内，过作于点，连接，证得为和平面所成的角，再解平面三角形即可求出答案．

解法二：以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角．

（1）证明：取的中点，连接，

为的中点，

且，

，

，

又，

四边形为平行四边形，

则，

平面平面，

平面；

（Ⅱ）解法一：在平面内，过作于点，连接，（图象见第一问）

平面C平面，

，

，为的中点，

，

又平面，平面，

平面，

由（Ⅰ）知平面，

又平面，平面平面，

平面平面平面，

平面，

为和平面所成的角，

设，

则，

，

中，，

直线和平面所成角的正弦值为．

解法二：以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

，

，

设为平面的法向量，

则，即，令，得，

又，

设和平面所成的角为，

则，

直线和平面所成角的正弦值为．