Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，.

（1）求证：；

（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得线线垂直；

（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，根据题中条件，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，即可得出结果.

（1）证明：取的中点，连接，

因为，所以，

又因为，所以四边形是平行四边形.

因为所以四边形是矩形.

所以.

又

所以.

所以是直角三角形，即.

又底面，底面，

所以.

又平面，平面，且.

所以平面.

又平面，

所以.

（2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，

由（1）知，，.

，

所以.

所以

所以.

设平面的法向量为，则

所以，即，

取，则，，

所以平面的一个法向量为.

又平面的一个法向量为

所以

所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.