【题目】如图在三棱柱中,为边的中点,.
(1)证明:平面;
(2)若,为中点且,,,求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)利用三角形中位线的性质得出,利用线面平行的判定定理可证得平面;
(2)证明出平面,由此可得出、、两两垂直,然后以点为坐标原点,、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值.
(1)在三棱柱中,侧面为平行四边形,
由,可知为的中点,又因为为边的中点,所以,
平面,平面,所以平面;
(2)因为,,,所以,所以,
取中点,则,,
因为,,所以,
又,所以满足,,
,所以平面,即、、两两相互垂直,
以点为坐标原点,、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图示),
所以、、、,,
所以,,
设平面的法向量为,
则有,即,取,则,,所以,
因为平面,所以平面的法向量可以取为,
,
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.
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【题目】百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)
年份(届) | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
41 | 49 | 55 | 57 | 63 | |
82 | 96 | 108 | 106 | 123 |
(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)
(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;
(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式:,
参考数据:,,,
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【题目】已知抛物线的图象经过点.
(1)求抛物线的方程和焦点坐标;
(2)直线交抛物线于,不同两点,且,位于轴两侧,过点,分别作抛物线的两条切线交于点,直线,与轴的交点分别记作,.记的面积为,面积为,面积为,试问是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】2019年10月1日,是中华人民共和国成立70周年纪念日.70年砥砺奋进,70年波澜壮阔,感染、激励着一代又一代华夏儿女,为祖国的繁荣昌盛努力拼搏,奋发图强.为进一步对学生进行爱国教育,某校社会实践活动小组,在老师的指导下,从学校随机抽取四个班级160名同学对这次国庆阅兵受到激励情况进行调查研究,记录的情况如下图:
(1)如果从这160人中随机选取1人,此人非常受激励的概率和此人是很受激励的女同学的概率都是,求的值;
(2)根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究,判断是否有的把握认为受激励程度与性别有关.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动,当天各店铺销售额破十亿,为了提高各店铺销售的积极性,采用摇号抽奖的方式,抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额(单位:千元)的频率分布直方图.
(1)求抽取的这家店铺,元旦当天销售额的平均值;
(2)估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家;
(3)为了了解抽取的各店铺的销售方案,销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究,求抽取的店铺销售额在和各一个的概率.
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【题目】在多面体ABCDPE中,四边形ABCD是直角梯形,,,平面平面,,,,,的余弦值为,,F为BE中点,G为PD中点.
(1)求证:平面ABCD;
(2)求平面BCE与平面ADE所成角(锐角)的余弦值.
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