Question

【题目】为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）.在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.

（1）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：

10.02	9.78	10.04	9.92	10.14	10.04	9.22	10.13	9.91	9.95
10.09	9.96	9.88	10.01	9.98	9.95	10.05	10.05	9.96	10.12

经计算得xi＝9.96，s0.19；其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？

（2）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及/span>X的数学期望.

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95.

Answer 1

【答案】（1）需对本次的生产过程进行检查（2）P（X＝1）≈0.0494；E（X）≈0.052

【解析】

（1）根据题目所给数据得到，由此求得，有一件药品在这个区间外，由此判断需对本次的生产过程进行检查.

（2）利用二项分布概率计算公式，计算出，以及求得的数学期望.

（1）由9.96，s＝0.19.

可得：9.96，0.19，

由样品数据看出有一样药品的主要药理成分9.22含量在＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查.

（2）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，

故X～B（20，0.0026），∴P（X＝1）0.997419×0.0026≈0.0494.

X的数学期望E（X）＝20×0.0026≈0.052.