Question

【题目】如图1，，点为线段的中点，点为线段上靠近的三等分点.现沿进行翻折，得到四棱锥，如图2，且.在图2中：

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由的特殊直角三角形可知AC，再由余弦定理可求得MN，进而由勾股定理可证，且，最后由线面垂直的判定定理即可得证；

（2）在图1中，，所以，即，即可以为原点，建立空间直角坐标系，即可表示与平面的法向量，最后由空间中向量法求得线面角的正弦值.

（1）证明：因为，所以.

由题意，得，所以.

在中，由余弦定理，得，

则，所以在图2中，，所以.

又，且，即在图2中，，所以，

又，平面，所以平面.

（2）在图1中，，所以，即.

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可知，，，，，则，.

设平面的法向量为，

则即解得令，则.

设直线与平面所成角为，又，

则.