Question

【题目】设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

令g（x）=xf（x），由导数得到函数g（x）的单调性和零点，再根据题意得到函数g（x）为奇函数，由此可得函数g（x）的图象，结合图象可得所求的范围．

令g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x），

∵当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，

∴函数g（x）在（﹣1，1）上单调递减．

∵g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），

∴g（x）在R是奇函数．

∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，

即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，

且g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，

画出函数g（x）的图象，如下图所示，

结合图象可得，当x≥0时，由f（x）＜0，即xf（x）＜0，可得0≤x＜2；

当x＜0时，由f（x）＜0，即xf（x）＞0，可得﹣2＜x＜0．

综上的取值范围是（﹣2，2）．

故选A．