Question

【题目】设函数，若对于任意，恒成立，则的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由题意得出对于任意，，转化为不等式组对任意的恒成立，分析二次函数在区间上的单调性，转化为关于函数最值的不等式来求解，从而可得出实数的取值范围.

由题意得出对于任意，，

则不等式组对任意的恒成立.

先考查二次不等式对任意的恒成立.

构造函数，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.

因为恒成立，所以，此时，函数在区间上单调递增，则，解得或；

下面来考查不等式对任意的恒成立，则.

构造函数.

①当时，即当.

若，则，当时，，不合乎题意；

若，则，合乎题意；

②当时，即当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.

当时，即当时，函数在上单调递减，则，解得，此时，；

当时，即当或时，，解得，此时，.

由上可知，当时，不等式对任意的恒成立.

综上所述，当时，不等式对任意的恒成立.

因此，实数的取值范围是.