Question

【题目】在四面体中， 分别是的中点．则下述结论：

①四面体的体积为；

②异面直线所成角的正弦值为；

③四面体外接球的表面积为；

④若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为．

其中正确的有_____．（填写所有正确结论的编号）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

补图成长方体，在长方体中利用割补法求四面体的体积，和外接球的表面积，以及异面直线的夹角，作出截面即可计算截面面积的最值.

根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为，

，解得

补成长，宽，高分别为的长方体，在长方体中：

①四面体的体积为，故正确

②异面直线所成角的正弦值等价于边长为的矩形的对角线夹角正弦值，可得正弦值为，故错；

③四面体外接球就是长方体的外接球，半径，其表面积为，故正确；

④由于，故截面为平行四边形，可得，

设异面直线与所成的角为，则，算得，

．故正确．

故答案为：①③④．