【题目】(1)直线在矩阵所对应的变换下得到直线,求的方程.
(2)已知点是曲线(为参数,)上一点,为坐标原点直线的倾斜角为,求点的坐标.
(3)求不等式的解集.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)先在直线上取点,在矩阵的变换下得到,再在直线上取点,在矩阵的变换下得到,进而可求出的方程;
(2)根据曲线的参数方程,得到普通方程,根据题意得到直线的直角坐标方程,两式联立,即可求出结果;
(3)分,,三种情况讨论,分别求解,即可求出结果.
(1)解:在直线上取点,
,故在矩阵的变换下得到,
再在直线上取点,
,在矩阵的变换下得到,
连接,可得直线.
(2)解:由题意得,曲线的直角坐标方程为,
直线的方程为,
联立方程组,解得(舍去),或
故点的直角坐标为.
(3)解:①当时,原不等式可化为,解得,此时;
②当时,原不等式可化为,解得,此时;
③当时,原不等式可化为,解得,此时.
综上,原不等式的解集为.
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【题目】已知数列满足.
(1)若数列的首项为,其中,且,,构成公比小于0的等比数列,求的值;
(2)若是公差为d(d>0)的等差数列的前n项和,求的值;
(3)若,,且数列单调递增,数列单调递减,求数列的通项公式.
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【题目】已知椭圆的长轴长为4,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线的斜率为,且与椭圆相交于,两点(异于点),过作的角平分线交椭圆于另一点.
(i)证明:直线与坐标轴平行;
(ii)当时,求四边形的面积
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【题目】已知直线与椭圆交于不同的两点,.
(1)若线段的中点为,求直线的方程;
(2)若的斜率为,且过椭圆的左焦点,的垂直平分线与轴交于点,求证:为定值.
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【题目】如图,某人承包了一块矩形土地用来种植草莓,其中m,m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米元;另外,还需在每个大棚之间留下m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中m),这部分建设造价为每平方米元.
(1)当时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(本小题结果保留)
(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低?(本小题计算中取)
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【题目】已知抛物线,直线过焦点且与抛物线交于、两点,当直线的倾斜角为30°时,.
(1)求抛物线方程.
(2)在平面直角坐标系中,是否存在定点,当直线绕旋转时始终都满足平分.若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,椭圆的离心率为,以椭圆的上顶点为圆心作圆,
,圆与椭圆在第一象限交于点,在第二象限交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求出此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于的一点,且直线分别与轴交于点为坐标原点,求证:
为定值.
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【题目】已知三个不同平面、、和直线,下面有四个命题:
①若,,,则;
②直线上有两点到平面的距离相等,则;
③,,则;
④若直线不在平面内,,,则.
则正确命题的序号为__________.
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