Question

【题目】已知直线与椭圆交于不同的两点，.

（1）若线段的中点为，求直线的方程；

（2）若的斜率为，且过椭圆的左焦点，的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用点差法可求得直线的斜率，进而求得直线的方程；

（2）设，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出中点坐标；当时，易求得的值；当时，可得垂直平分线方程，进而求得点坐标和，利用弦长公式求得，进而求得的值；综合两种情况可知为定值.

（1）设，，

则，两式作差得：，

中点为，，，

直线的方程为：，即：.

（2）由椭圆方程知：，可设直线的方程：，

联立得：，

设，，则，，

，

，，

当时，，，；

当时，的垂直平分线方程为：，

令得：，，，

，

；

综上所述：为定值.