Question

【题目】已知二次函数的定义域恰是不等式的解集，其值域为，函数的定义域为，值域为.

（1）求定义域和值域；

（2）试用单调性的定义法解决问题：若存在实数，使得函数在上单调递减，上单调递增，求实数的取值范围并用表示；

（3）是否存在实数，使成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，.

【解析】

（1）解不等式得定义域，由二次函数的性质可得值域；

（2）假设存在，满足题意，设且，作差，按单调性定义分析可得；

（3）求导函数，分类讨论，得出的单调性，从而求得值域，再由，列出不等式组，可得的取值范围。

（1），解得，∴，即。

，又，∴，∴。

（2）假设存在，满足题意，

设且，

，

显然，因此当，，当，，

当，，因此，，

，，因此，，

综上。，∴。

∴，。

（3），

若，则，是上的增函数，时，，，即，

当时，，∴，

若，则当时，，单调递减，时，，单调递增，

若，则，，即，不满足，

若，则当时，递减，∴

∴，解得，

综上的取值范围是。