Question

【题目】已知函数,,．

当时,求函数的单调区间,并求出其极值；

若函数存在两个零点,求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）．极大值为；极小值为f（0）=0．（2）（-∞，0）.

【解析】

（1）先求导数，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律，确定单调区间与极值，（2）先求导数，再结合导函数零点，根据k的值分五种情况分类讨论，结合对应函数单调性以及极值正负确定零点个数，即得结果.

解：（1）当k=1时，，

∴f'（x）=（x+1）ex-（x+1）=（x+1）（ex-1），

故x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；

x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数.

故函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞）；单调减区间为（-1，0）．

所以函数的极大值为；极小值为f（0）=0．

（2）由已知，，g（x）=kex-x，

∴，

∴F'（x）=kxex-x=x（kex-1）.

①当k＜0时，F（x）在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且注意到F（0）=-k＞0，函数F（x）的图象两边向下无限伸展，故此时F（x）存在两个零点，适合题意．

②当k=0时，在（-∞，0）为增，在（0，+∞）为减，且F（0）=0，故此时F（x）只有一个零点．

③当k=1时，,故函数（-∞，+∞）为增，易知函数F（x）只有一个零点．

④当k∈（0，1）时，，F（x）在（-∞，0）为增，为减，为增，且F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．

⑤当k∈（1，+∞）时，，F（x）在为增，为减，（0，+∞）为增，且，F（0）=-k＜0易知F（x）只有一个零点．

综上，k的取值范围是（-∞，0）.